お子さんがいて、児童手当を受給できる年齢の場合、児童手当の受給権は、原則、「子どもを監護している人」、つまり、「子どもと一緒に暮らし、生計を維持している人」にあります。
そして、監護者が父母のときは、父母のうち所得の高い方に支給がされるルールになっていますので、父に支給されているケースが多いと存じます。
ですので、夫が出て行き、お子さんを妻側が監護しているときは、ルールに則れば妻側に受給権が移ることになるのですが、役所が自動的に変更してくれるわけではなく、妻側が、「離婚を前提に夫と別居になっていること」と「ご自身が子どもを監護していること」を役所に届け出なければなりません。
このためには、まず、基本的に、夫に住民票を移してもらい、妻子のみが同じ住民票になっていることが必要です。
また、離婚を前提に別居していることの証拠として、離婚協議の申入れをした内容証明郵便の写しや、家庭裁判所で離婚調停が係属していることが分かる書面（調停期日呼出状等）等が必要です。
市によって必要とする書面が異なってくるので、一度、お住いの市役所に確認の上、ご相談下さい。
大事なお子さんのための児童手当です。
離婚前であっても変更ができるのでぜひ検討いただければと存じます。